一些数字信号处理知识
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由于我连最基本的离散傅里叶变换都不清楚了，因此我决定抽时间把里面用到的信号知识稍微记录一下
连续信号的离散采样
这里假设$x_{a}(t)$是连续信号，在$f_s=1/T$的采样率下，其离散采样的表达为
\[\hat{x}_a\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a\left(t\right)\delta\left(t-nT\right)\]采样率：定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率的倒数叫作采样周期或采样时间，它是采样之间的时间间隔。
关于$\delta(t)$和$\varepsilon(t)$
- $\delta(t)$，冲激函数
其数学定义为：
\[\left.\delta(\mathrm{t})=\left\{\begin{array}{ll}\infty&\mathrm{~t=0}\\0&\mathrm{~t\neq0}\end{array}\right.\right.\]冲激函数的一个很特殊的性质为 $\int\delta(\mathrm{t})\mathrm{dt}=1$ ,由于这个特性， $\delta(t)$ 十分适合采样，在积分中的体现为：
\[\int\mathrm{f(t)\delta(t)dt}=\mathrm{f(0)}\]因此可以得出结论冲激函数与任何连续函数的乘积，最终只留下连续函数在冲激位置的值，这就是我们想要的采样的概念，因此这次我们可以给冲激函数$\delta(t)$加上轮子🛞，使其获得采样任意位置$t_{0}$的能力:
\[\int_{-\infty}^\infty f\left(t\right)\delta(t-a)\mathrm{d}t=f\left(a\right)\]例题1： \(\sin\left(t+\frac\pi4\right)\delta\left(t\right)=\sin\left(\frac\pi4\right)\delta\left(t\right)=\frac{\sqrt {2}}2\delta\left(t\right)\)
- $\varepsilon(t)$，阶跃函数
其数学定义为
\[\left.\varepsilon(t)\triangleq\lim_{n\to\infty}\gamma_n(t)=\left\{\begin{aligned}0,&&t<0\\\frac12,&&t=0\\1,&&t>0\end{aligned}\right.\right.\]而 $\delta(t)$ 和 $\varepsilon(t)$ 两者的关系是
\[\delta(t)=\frac{\operatorname{d}\varepsilon(t)}{\operatorname{d}t}\quad\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^t\delta(\tau)\operatorname{d}\tau\]冲激函数的导数—冲击偶$\delta’(t)$
冲击偶常见的方式是这样的：
\[f(t)\delta'(t)=f(0) \delta'(t)-f'(0)\delta (t)\]该公式的证明过程为 \(\begin{gathered} \begin{bmatrix}f(t)\delta(t)\end{bmatrix}'=f(t)\delta'(t)+f'(t)\delta(t) \\ f(t)\delta'(t)=\begin{bmatrix}f(t)\delta(t)\end{bmatrix}'-f'(t)\delta(t) \\ =f\left(0\right)\delta'\left(t\right)-f'\left(0\right)\delta\left(t\right) \end{gathered}\)
在公式证明中需要明白冲激偶积分的性质$\int_{-\infty}^\infty\delta^{\prime}\left(t\right)dt=0$,这里可以直接想象一下冲激函数$\delta(t)$的导数，一上一下，这样话积分就直接抵消掉了。
时域采样等于频谱延拓
将上一条中离散采样的表达形式
\[\hat{x}_a\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a\left(t\right)\delta\left(t-nT\right)\]转为频域是这样的
\[\hat{X}_a(j\Omega)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^\infty X_a\left(j\Omega-jn\frac{2\pi}T\right)\]- 频谱
频谱（frequency spectrum）是指一个时域的信号在频域下的表示方式，可以针对信号进行傅里叶变换而得，所得的结果会是分别以幅度及相位为纵轴，频率为横轴的两张图。
- 欧拉公式
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最为经典的方法是傅立叶变换,要完整理解欧拉公式，我们还要引入十分重要的欧拉公式
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x\]利用欧拉公式可以推导出十分重要的两个公式分别是
\[\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\] \[\cos x={\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\]带入到当前的情景中就是：
\[\cos(\mathrm{nwt})=\frac{\mathrm{e}^\mathrm{inwt}+\mathrm{e}^{-\mathrm{inwt}}}2,\sin(\mathrm{nwt})=\frac{\mathrm{e}^\mathrm{inwt}-\mathrm{e}^{-\mathrm{inwt}}}{2\mathrm{i}}\]- 傅立叶级数
在高等数学下中我们学过,一个周期的函数$f_{T}(t)$可以使用一系列的正弦三角函数和余弦三角函数来表示(拟合):
\[f_{T}(t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t))\]这里的$w$为基频率，决定了所使用的三角函数系，$a_{n}$和$b_{n}$分别为傅立叶系数，可以通过这样的积分来求得到:
\[\begin{aligned}a_n&=\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)\cos(2\pi nft)dt\\\\b_n&=\frac1T\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f(t)\sin(2\pi nft)dt\end{aligned}\]这里的$2\pi f = w$,也即上文中提到的基频率。
此时我们将上文中展开的欧拉公式带入到傅立叶级数中：
\[\begin{gathered} \begin{aligned}\mathrm{f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\frac{e^{inwt}+e^{-inwt}}{2}+b_n\frac{e^{inwt}-e^{-inwt}}{2i}\right] }\end{aligned} \\ \mathrm{f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}-ib_{n}}{2})e^{inwt}+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_{n}+ib_{n}}{2})e^{-inwt}} \end{gathered}\]但是此时这个公式还是不够统一，因此又进行了下面的一系列操作：
\[\begin{aligned}\mathrm{f(t)=\sum_{n=0}^0a_ne^{inwt}+\sum_{n=1}^\infty(\frac{a_n-ib_n}2)e^{inwt}+\sum_{n=-1}^{-\infty}(\frac{a_{-n}+ib_{-n}}2)e^{inwt}}\end{aligned}\]此时，这个公式中的三项被完美的划分成了0，正无穷，负无穷三个部分；我们此时就可以得到大一统的公式：$\mathrm{f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{inwt}}$
一个理想的低通滤波器对应着一个Sa函数
- Sa函数，也被称之为抽样函数，其定义为$Sa(t)=\frac{sint}{t}$,其数学定义/性质为：
- $Sa(k\pi)=0,k=\pm 1,\pm 2,…$
- $\int_{-\infty}^{\infty}Sa(t)dt=\pi $
将连续信号变得带限
将屏幕空间里的连续信号变得带限（Band-limited），是指将该信号处理或修改，使其仅包含一个限定的频率范围内的成分，超出这个范围的所有频率成分都被剔除或减少到很小的水平。这通常是为了避免采样时发生走样/混叠（Aliasing）现象。
- 走样
香农-奈奎斯特采样定理
小波变换
到处都有，是真的，想躲也躲不掉
小波变换（Wavelet Transform）是一种时间频率分析方法，它与傅里叶变换相比，更能在时频域中提供局部化的信息。小波变换通过伸缩和平移一个或多个母小波（基函数）来分析信号，可以更好地捕捉到信号的瞬时特征，尤其是非平稳信号的特性。